全国奥林匹克数学大赛 初中数学竞赛试题

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奥杯赛 初中数学竞赛试题 一、 选择题 1.函数 y=  1 图象的大致形状是( x y ) y y y O x O x O x O x A B C D 2.老王家到单位的路程是 3500 米,老王每天早上 7:30 离家步行去上班,在 8:10(含 8:10)到 8:20(含 8:20)之间到达单位。

如果设老王步行的速度为 x 米/分,则老 王步行的速度范围是( A.70≤x≤87.5 ) C.x≤70 D.x≥87.5 B.70≤x 或 x≥87.5 3.如图,AB 是半圆的直径,弦 AD,BC 相交于 P,已知∠DPB=60°,D 是弧 BC 的中点, 则 tan∠ADC 等于( A. ) C. 3 D. C D P 1 2 B.2 3 3 A www.czsx.com.cn 2 4. 抛物线 y  x  x  p  p  0 的图象与 x 轴一个交点的横坐标是 P, 那么该抛物线的顶 O B 点坐标是( A. (0,-2) ) B.  1 9 ,  2 4 C.    1 9 ,   2 4 D.    1 9 ,   2 4 5.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,CD 是角平分线,则△DBC 的面积与△ABC 的面 积的比值是( ) A D B C

A. 52 2 B. 52 3 C. 3 5 2 D. 3 5 3 6.直线 l : y  px p是不等于0的整数 与直线 y=x+10 的交点 恰好是(横坐标和纵坐标都是整数) ,那么满足条件的直线 l 有( A.6 条 B.7 条 C.8 条 D.无数条 2   ) 7.把三个连续的正整数 a,b,c 按任意次序(次序不同视为不同组)填入  x  x   0 的三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至 少有一个整数根的 a,b,c( A.不存在 B.有一组 ) C.有两组 D.多于两组 8.六个面上分别标有 1,1,2,3,3,5 六个数字的均匀立方体的表面如 图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某 个点的横坐标,朝下一面的数主该点的纵坐标。

按照这样的规定,每 3 3 2 1 5 1 掷一次该小立方体,就得到平面内的一个点的坐标。

已知小明前再次搠得的两个点能确 定一条直线 l ,且这条直线 l 经过点 P(4,7) ,那么他第三次掷得的点也在直线 l 上的概 率是( ) 2 A. 3 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 6 5 5 45 45 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9 .若 a 是一个完全平方数,则比 a 大的最小完全平方数 是 。

45 45 5 5 www.czsx.com.cn 10.按如图所示,把一张边长超过 10 的正方形纸片剪成 5 个 部分, 则中间小正方形 (阴影部分) 的周长为 。

11.在锐角三角形 ABC 中,∠A=50°,AB>BC,则∠B 的取值范围是 。

12.设正△ABC 的边长为 a,将△ABC 绕它的中心(正三三角形外接圆的圆心)旋转 60° 得到对应的△A′B′C′,则 A,B′两点间的距离等于 。

13.如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形 AOCD,已 知 AD = 3 , AO = 8 , OC = 5 , 若 点 P 在 梯 形 内 且 y A 8 3 D S PAD  S POC , S PAO  S PCD , 那 么 点 P 的 坐 标 是 。

14.已知 A、B、C、D 四人的体重均为整数千克,其中 A 最轻, 其次是 B,C,D,以他们中的每两人为一组称得的体重如下 (单位:千克) : 45, 49, 54, 60, 64 则 D 的体重为 千克。

5 O C x www.czsx.com.cn 三、解答题(共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分,满分 50 分) 15.已知 b  a  1 1 b , 2a 2  a  , 求  a 的值。

8 4 a 16.现在 a 根长度相同的火柴棒,按如图 1 摆放时可摆成 m 个正方形,按如图 2 摆放时可 摆成 2n 个正方形。

...... 图 1 ...... ...... ...... 图 3 ...... ...... 图 2 ⑴用含 n 的代数式表示 m; ⑵当这 a 根火柴棒还能摆成如图 3 所示的形状时,求 a 的最小值。

17.如图,已知直径与等边三角形 ABC 的高相等的圆 AB 和 BC 边相切于点 D 和 E,与 AC 边 相交于点 F 和 G,求∠DEF 的度数。

18.已知抛物线 l1 : y  ax  2amx  am  2m 1 a  0, m  0 的顶点为 A,抛物线 l2 的 2 2

顶点 B 在 y 轴上,且抛物线 l1和l2 关于 P(1,3)成中心对称。

⑴当 a=1 时,求 l2 的解析式和 m 的值; ⑵设 l2 与 x 轴正半轴的交点是 C,当△ABC 为等腰三角形时,求 a 的值。

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