全国奥林匹克数学讲义 初中专题训练试题及解析(10套含答案 )

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初中数学竞赛专项 共 10 讲 含答案 初中数学竞赛专项训练(1) (实 一、选择题 1、如果自然数 a 是一个完全平方数,那么与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是( A. a+1 B. a2+1 C. a2+2a+1 D. a+2 a +1 ) 数) 2、在全体实数中引进一种新运算*,其规定如下:①对任意实数 a、b 有 a*b=(a+b)(b-1)②对任意实数 a 有 a =a*a。

当 x=2 时, [3*(x ) ]-2*x+1 的值为 A. 34 B. 16 C. 12 *2 *2 ( D. 6 ) 3、已知 n 是奇数,m 是偶数,方程  A. x0、y0 均为偶数 C. x0 是偶数 y0 是奇数 2004 y  n 有整数解 x0、y0。

则 11x  28y  m B. x0、y0 均为奇数 D. x0 是奇数 y0 是偶数 ) ( ) 4、设 a、b、c、d 都是非零实数,则四个数-ab、ac、bd、cd( A. 都是正数 B. 都是负数 C. 两正两负 D. 一正三负或一负三正 ) 5、满足等式 x y  y x  2003y  2003 x  2003xy  2003的正整数对的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、已知 p、q 均为质数,且满足 5p2+3q=59,由以 p+3、1-p+q、2p+q-4 为边长的三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ) 7、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( 整除。

A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 )个 8、在 1、2、3„„100 个自然数中,能被 2、3、4 整除的数的个数共( A. 4 二、填空题 1 B. 6 C. 8 D. 16

1、若 S  1 1 1 1    1980 1981 2001 ,则 S 的整数部分是____________________ 2、M 是个位数字不为零的两位数,将 M 的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数 N,若 M- N 恰是某正整数的立方,则这样的数共___个。

3、已知正整数 a、b 之差为 120,它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍,那么,a、b 中较大的 数是_____。

4、设 m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数,则 m=_________ 5、满足 19982+m2=19972+n2(0<m<n<1998)的整数对(m、n)共有____个 6、已知 x 为正整数,y 和 z 均为素数,且满足 x  yz   三、解答题 1 x 1 1  ,则 x 的值是___ y z 1、试求出这样四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四 位数。

2、从 1、2、3、4„„205 共 205 个正整数中,最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个 数 a、b、c(a<b<c) ,都有 ab≠c。

2

3、已知方程 x  6 x  4n  32n  0 的根都是整数。

求整数 n 的值。

2 2 4、设有编号为 1、2、3„„100 的 100 盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态, 现有 100 个学生,第 1 个学生进来时,凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来, 由号码是 2 的倍数的开关拉一下,第 n 个(n≤100)学生进来,凡号码是 n 的倍数的开关拉一下, 如此下去,最后一个学生进来,把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请 问哪些灯还亮着。

5、若勾股数组中,弦与股的差为 1。

证明这样的勾股数组可表示为如下形式: 2a  1,  2a 2  2a,  2a 2  2a  1,其中 a 为正整数。

3

初中数学竞赛专项训练(2) (代数式、恒等式、恒等变形) 一、选择题:下面各题的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在括号内。

1、某商店经销一批衬衣,进价为每件 m 元,零售价比进价高 a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为 原来零售价的 b%,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m· a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果 a、b、c 是非零实数,且 a+b+c=0,那么 a  b  c  abc 的所有可能的值为 | a | | b | | c | | abc | A. 0 B. 1 或-1 ( ) C. 2 或-2 D. 0 或-2 3、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若∠B=60°,则 ( A. 1 2 C. 1 B. D. 2 2 c a 的值为  ab cb ) c B A b a C ( D. 3 ) 2 ab 的值为 ab C. 2 4、设 a<b<0,a2+b2=4ab,则 A. 3 B. 6 5、已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设 a、b、c 为实数, x  a  2b  2  3 ,y  b 2  2c  C. 不大于 0 2 2 2  6 ,z  c 2  2a   2 ,则 x、y、z 中,至少有 ( ) 一个值 A. 大于 0 B. 等于 0 D. 小于 0 ( ) 7、已知 abc≠0,且 a+b+c=0,则代数式 A. 3 2 B. 2 2 a b c 的值是   bc ca ab C. 1 D. 0 8、若 M  3x  8xy  9 y  4x  6 y  13 (x、y 是实数) ,则 M 的值一定是 ( A. 正数 二、填空题 B. 负数 C. 零 D. 整数 ) 1、某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数) 不得超过 d%,则 d 可用 p 表示为_____ 4

2、已知-1<a<0,化简 (a  ) 2  4  (a  ) 2  4 得_______ 3、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9,则 x+2y+3z=_______________ 4、已知 x1、x2、„„、x40 都是正整数,且 x1+x2+„„+x40=58,若 x12+x22+„„+x402 的最大值为 A,最 小值为 B,则 A+B 的值等于________ 1 a 1 a 5、计算 (34  4)(7 4  4)(114  4)(154  4)(394  4)  ________________ (5 4  4)(9 4  4)(134  4)(174  4)(414  4) 3 2 6、已知多项式 ax  bx  47x  15 可被 3x  1 和 2 x  3 整除,则 a  b  _____ 三、解答题: 1、已知实数 a、b、c、d 互不相等,且 a  1 1 1 1  b   c   d   x ,试求 x 的值。

b c d a 5

2、如果对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax  bx  c 的值都是平方数(即整数的平方) 。

2 证明:①2a、ab、c 都是整数。

②a、b、c 都是整数,并且 c 是平方数。

反过来,如果②成立,是否对于一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax  bx  c 的值都是平方数? 2 3、若 a  1995  1995  1996  1996 ,求证:a 是一完全平方数,并写出 a 的值。

2 2 2 2 6

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