奥杯赛20全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答

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全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 一、选择题(只有一个结论正确) 1、设 的平均数为 M, 的平均数为 N,N, 的平均数为 P,若 ,则 M 与 P 的大小关系是( )。

(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。

答:(B)。

∵M= ,N= ,P= ,M-P = ,∵ 0,即 M>P。

,∴ > ,即 M-P> 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了 米( ( )。

千米,休息了一段时间,又原路返回 千 ),再前进 千米,则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是 答:(C)。

因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后 S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程, 唯图(C)正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙 10 岁;乙是甲现在的年龄时,甲 25 岁,那么( )。

(A)甲比乙大 5 岁;(B)甲比乙大 10 岁;(C)乙比甲大 10 岁;(D)乙比甲 大 5 岁。

答:(A)。

由题意知 3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。

1

4、一个一次函数图象与直线 平行,与 轴、 轴的交点分别为 A、B,并且过点(-1,-25),则在线段 AB 上(包括端点 A、B),横、纵坐 标都是整数的点有( )。

(A)4 个;(B)5 个;(C)6 个;(D)7 个。

答:(B)。

在直线 AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是 =-1+4N, =-25+5N,(N 是整数).在线段 AB 上这样的点应满足-1+4N>0,且-25 +5N≤0,∴ ≤N≤5,即 N=1,2,3,4,5。

5、设 分别是△ABC 的三边的长,且 ∠B 的关系是( )。

,则它的内角∠A、 (A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

答:(B)。

由 CD= 得 ,延长 CB 至 D,使 BD=AB,于是 ,在△ABC 与△DAC 中,∠C 为公共角,且 BC:AC=AC:DC, ∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D= 2∠BAC。

6、已知△ABC 的三边长分别为 ,面积为 S1,且 ( )。

(A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。

,面积为 S,△A1B1C1 的三边长分别为 ,则 S 与 S1 的大小关系一定是 2

答:(D)。

分别构造△ABC 与△A1B1C1 如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然 ,即 S>S1;②设 ,则 ,S=10, ,则 S1= ,则 ×100>10,即 S<S1;③设 ,S=10, ,则 ,S1=10,即 S=S1;因此,S 与 S1 的大小关系不确定。

二、填空题 7、已知: ,那么 =________。

答:1。

∵ ,即 。

∴ 。

8、如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=8,BC=6 =120°,则梯形 ABCD 的面积等于________。

,∠BCD=45°,∠BAD 答:66+6 6 (平方单位)。

作 AE、BF 垂直于 DC,垂足分别为 E、F,由 BC= ,∠BCD=45°,得 AE=BF=FC=6。

由∠BAD=120°,得∠DAE=30°, 3

因为 AE=6 得 DE=2 ,AB=EF=8,DC=2 +8+6=14+2 , ∴ 9、已知关于 的方程 件的整数有________个。

答:5。

①当 时, ;②当 时,易知 。

的根都是整数,那么符合条 是方程的一个整数根, 再由 且 是整数,知 有 5 个。

,∴ ;由 ①、②得符合条件的整数 10、如图,工地上竖立着两根电线杆 AB、CD,它们相距 15 米,分别自两杆上高 出地面 4 米、6 米的 A、C 处,向两侧地面上的 E、D;B、F 点处,用钢丝绳拉紧, 以固定电线杆。

那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为________米。

答: 2.4 米。

作 PQ⊥BD 于 Q, 设 BQ= 米, QD= 米, PQ= 米, 由 AB∥PQ∥CD, 得 及 ,两式相加得 ,由此得 米。

即点 P 离地面的高度为 2.4 米。

(注:由上述解法知,AB、CD 之间相距多远,与题目 结论无关。

) 11、如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(15,6),直线 恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,那么 =________。

4

答: 。

直线 通过点 D (15, 5) , 故 BD=1。

当 时, 直线 通过 , 两点,则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了 6.4%,使得利润率 增加了 8 个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是________。

(注: 答:17%。

设原进价为 ×100%) 元,销售价为 元,那么按原进价销售的利润率为 ×100%,原进价降低 6.4%后,在销售时的利润率为 ×100%,依题意得: ×100%+8%= ×100%,解得 =1.17 ,故这种商品 原来的利润率为 三、解答题 13、设 是不小于 ×100%=17%。

的实数,使得关于 的方程 。

有两个不相等的实数根 (1)若 ,求 的值。

(2)求 的最大值。

解:因为方程有两个不相等的实数根,所以 ,∴ 有 。

5 。

根据题设,

(1) 因为 ,即 。

由于 (2) ,故 。

设 上是递减的,所以当 为 10。

时, 取最大值 10。

故 的最大值 14、 如上图: 已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2, 对角线 AC 与 BD 的交点为 E, AE=EC,AB= AE,且 BD=2 ,求四边形 ABCD 的面积。

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