研赛203全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析

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全国奥林匹克数学大赛解析初中数学竞赛试题 03 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了英文 代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入 题后的括号里. 不填、多填或错填,得零分) 1.若 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则 (A)  1 2 5x2  2 y 2  z 2 的值等于 ( 2 x 2  3 y 2  10z 2 (D)  13 ). (B)  19 2 (C)  15 2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.80 元,超过 20g 而不超 过 40g 时付邮费 1.60 元,依次类推,每增加 20g 需增加邮费 0.80 元(信的质量 在 100g 以内) 。

如果所寄一封信的质量为 72.5g,那么应付邮费 ( (A) 2.4 元 (B) 2.8 元 (C) 3 元 (D) 3.2 元 ). (D) 720° ). 3.如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( (A)360° A G B M N C D E F (B) 450° (C) 540° A D C O B (第 3 题图) (第 4 题图) 4.四条线段的长分别为 9,5,x,1(其中 x 为正实数) ,用它们拼成两个直角 三角形, 且 AB 与 CD 是其中的两条线段 (如上图) , 则 x 可取值的个数为 ( (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D) 6 个 ) . 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念,摄 影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3) ,且要求各行的人数必须是连 续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足 上述要求的排法的方案有( (A)1 种 (B)2 种 ). (C)4 种 (D) 0 种 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.已知 x  1  3 ,那么 1 1 1  2   x2 x 4 x2 1 .

7. 若实数 x, y, z 满足 x  1 1 7 1 z  , 则 xyz 的值为  4 ,y   1 , z x 3 y . 8.观察下列图形: ① ② ③ . ④ 根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 A 9.如图所示,已知电线杆 AB 直立于地面上, 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上, 如果 CD 与地面成 45º, ∠A=60º CD=4m, BC= 4 6  2 2 m , 则 电 线 杆 AB 的 长 为 _______m. B C D   E (第 9 题图) 10.已知二次函数 y  ax2  bx  c(其中 a 是正整数)的图象经 过点 A(-1,4) 与点 B(2,1) ,并且与 x 轴有两个不同的交点,则 b+c 的最大值为 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 11.如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 平行于弦 AD, 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连结 AC,与 DE 交于点 P. 问 EP 与 PD 是否相等? 证明你的结论. 解: A . E D P O B C (第 11 题图) 2

12.某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城, 沿途可能经过的城市以及通过两城 市之间所需的时间(单位:小时)如图 所示. 若汽车行驶的平均速度为 80 千 米/小时,而汽车每行驶 1 千米需要的 平均费用为 1.2 元. 试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线(要有推理 过程) ,并求出所需费用最少为多少 元? 解: 15 14 6 C 13 D 17 E 10 12 11 A O 5 F 7 18 B G 9 H (第 12 题图) 3

13B.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°. (1)当点 D 在斜边 AB 内部时,求证: CD 2  BD2 AD  BD  . BC 2 AB (2)当点 D 与点 A 重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点 D 在 BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理 由. C B D (第 13 B 题图) A 14B.已知实数 a,b,c 满足:a+b+c=2,abc=4. (1)求 a,b,c 中的最大者的最小值; (2)求 a  b  c 的最小值. 4

注: 13B 和 14B 相对于下面的 13A 和 14A 是较容易的题. 13B 和 14B 与前面的 12 个题组成考 试卷.后面两页 13A 和 14A 两题可留作考试后的研究题。

13A.如图所示,⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2  2(k  2) x  k  0 (k 是整数)的最大整数根. P 是⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC, 其中 A 为切点,点 B,C 是直线 PBC 与⊙O 的交点.若 PA,PB,PC 的长都是正 整数,且 PB 的长不是合数,求 PA2  PB2  PC2 的值. 解: A O P B C (第 13A 题图) 5

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的 4 个数 a,b,c,d 满足不等式 (a  d )(b  c) >0,那么就可以交换 b,c 的位置,这称为一次操作. (1)若圆周上依次放着数 1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后, 对圆周上任意依次相连的 4 个数 a,b,c,d,都有 (a  d )(b  c) ≤0?请说明理 由. (2) 若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数 1, 2, …, 2003, 问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的 4 个数 a,b,c,d, 都有 (a  d )(b  c) ≤0?请说明理由. 解: (1) 1 6 2 5 4 3 (2) 6

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