全国201奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析

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全国奥林匹克数学大赛解析初中数学竞赛试题 210 一、选择题 a b ab  20,  10 ,则 的值为( ) . b c bc 11 21 110 210 (A) ( B) (C) (D) 21 21 11 11 a 1 ab b 20  1 210 解: D 由题设得 .    b  c 1 c 1 1 11 b 10 1 2.若实数 a,b 满足 a  ab  b 2  2  0 ,则 a 的取值范围是 ( ) . 2 (A)a  2 ( B) a  4 (C)a≤ 2 或 a≥4 (D) 2 ≤a≤4 解.C 1 因为 b 是实数,所以关于 b 的一元二次方程 b 2  ab  a  2  0 2 1 =( a) 2  4  1 ( a  2) ≥0,解得 a≤ 2 或 a≥4. 的判别式 2 1.若 3.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=135° ,∠C=120° ,AB= 2 3 ,BC= 4  2 2 , CD= 4 2 ,则 AD 边的长为( (A) 2 6 (C) 4  6 解:D 如图,过点 A,D 分别作 AE,DF 垂直于直线 BC, 垂足分别为 E,F. 由已知可得 BE=AE= 6 ,CF= 2 2 ,DF=2 6 , (第 3 题) ) . ( B) 4 6 (D) 2  2 6 (第 3 题) 于是 EF=4+ 6 . 过点 A 作 AG⊥DF,垂足为 G.在 Rt△ADG 中,根据勾股定理得 AD  (4  6) 2  ( 6) 2  (2  24) 2 = 2  2 6 . 4. 在一列数 x1,x2,x3, ……中, 已知 x1  1 , 且当 k≥2 时,xk  xk 1  1  4   k  1   k  2        4   4  1

(取整符号  a  表示不超过实数 a 的最大整数,例如  2.6  2 , 0.2  0 ) ,则 x2010 等于 ( ) . (A) 1 解:B (B) 2 (C) 3 (D) 4   k  1  k  2   由 x1  1 和 xk  xk 1  1  4      可得  4   4  x1  1 , x2  2 , x3  3 , x4  4 , x5  1 , x6  2 , x7  3 , x8  4 , …… 因为 2010=4× 502+2,所以 x2010 =2. 5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(2, -1) ,C(-2,-1) ,D(-1,1) .y 轴上一点 P(0,2)绕点 A 旋转 180° 得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180° 得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3,点 P3 绕点 D 旋转 180° 得点 P4, ……, 重复操作依次得到点 P1, P2, …, 则点 P2010 的坐标是( ) . (A) (2010,2) (B) (2010, 2 ) (C) (2012, 2 ) (D) (0,2) (第 5 题) 解:B 由已知可以得到,点 P1 , P2 的坐标分别为(2,0) , (2, 2 ) . 记P ( b2 ) ,其中 a2  2, b2  2 . 2 a2, 根据对称关系,依次可以求得: P 2-b2 ) , P4 (2  a2 , 4  b2 ) , P  2  b2 ) , P b2 ) . 3 (4  a2,- 5 (a2 , 6 (4  a2 , 令P 同样可以求得, 点P ( 4  a6 , b2 ) , 即P ( 4  2  a2 , b2 ) , 6 (a6 , b2 ) , 10 的坐标为 10 由于 2010=4  502+2,所以点 P2010 的坐标为(2010, 2 ) . 二、填空题 6.已知 a= 5 -1,则 2a3+7a2-2a-12 的值等于 . 解:0 2

由已知得 (a+1)2=5,所以 a2+2a=4,于是 2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0. 7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时 刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了 10 分钟,小轿车追上 了货车;又过了 5 分钟,小轿车追上了客车;再过 t 分钟,货车追上了客车,则 t = . 解:15 设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为 S 千米,小轿车、货车、客 车的速度分别为 a,b,c (千米/分) ,并设货车经 x 分钟追上客车,由题意得 10  a  b  S , 15 a  c   2S , ① ② x  b c S  . ③ (b  c)  S ,所以,x=30. 由①②,得 30 故 t  30  10  5  15 (分) . 8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0,0) ,A(0, 6) ,B(4,6) ,C(4,4) ,D(6,4) ,E(6,0) .若直线 l 经过点 M(2,3) ,且将多 边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分,则直线 l 的函数 表达式是 . (第 8 题 1 11 解: y   x+ 3 3 (第 8 题) 如图,延长 BC 交 x 轴于点 F;连接 OB,AF ;连接 CE,DF,且相交于点 N. 由已知得点 M(2,3)是 OB,AF 的中点,即点 M 为矩形 ABFO 的中心, 所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分. 又因为点 N (5, 2) 是矩形 CDEF 的中心,所以, 过点 N(5,2)的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分. 于是,直线 MN 即为所求的直线 l . 2k +b  3, 设直线 l 的函数表达式为 y  kx  b ,则  5k  b  2, 3

1  k  ,  1 11  3 解得  ,故所求直线 l 的函数表达式为 y   x+ . 3 3 b  11 .  3  9.如图,射线 AM,BN 都垂直于线段 AB,点 E 为 AM 上一点,过点 A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE,BN 于点 F,C,过点 C 作 AM 的垂线 CD,垂足为 D.若 CD=CF,则 AE  AD . 解: 5 1 2 (第 9 题) 见题图,设 FC  m, AF  n . 因为 Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 AB2  AF  AC . 又因为 FC=DC=AB,所以 m2  n(n  m), 即 解得 n 5 1 n  5 1 ,或  (舍去) .  m 2 m 2 AE AE AF n     AD BC FC m ( n 2 n )  1  , 0 m m 又 Rt△ AFE ∽Rt△ CFB ,所以 AE 5 1 5 1 , 即 = . AD 2 2 10.对于 i=2, 3,…, k,正整数 n 除以 i 所得的余数为 i- 1.若 n 的最小值 n 0 满足 2000  n0  3000 ,则正整数 k 的最小值为 解: 9 . 3 ,k 的倍数,所以 n 的最小值 n0 满足 因为 n  1 为 2,, n0 1  2,, 3 ,k  , 3 ,k 的最小公倍数. 其中  2,, 3 ,k  表示 2,, 由于 2,, 3 , 8  840, 3 , 9  2520, 2,, 3 , 10  2520, 3 , 11  27720 , 2,, 2,, 因此满足 2000  n0  3000 的正整数 k 的最小值为 9 . 4

三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分) 11.如图,△ABC 为等腰三角形,AP 是底边 BC 上的高,点 D 是线段 PC 上的一点, BE 和 CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接 EF. 求证: tan PAD  EF . BC (第 11 题) ) 证明:如图,连接 ED,FD. 因为 BE 和 CF 都 是直径,所以 ED⊥BC, FD⊥BC, …………(5 分) 因此 D,E,F 三点共线. 连接 AE,AF,则 AEF  ABC  ACB  AFD , 所以,△ABC∽△AEF. …………(10 分) AH , AP PD , AP PD EF tan PAD   . AP BC EF  BC EF  BC (第 11 题) 作 AH⊥EF,垂足为 H,则 AH=PD. 由△ABC∽△AEF 可得 ) 从而 所以 …………(20 分) 12.如图,抛物线 y  ax  bx (a  0)与双曲线 y  2 k 相交于 x 5

点 A,B. 已知点 A 的坐标为(1,4) ,点 B 在第三象限内,且△AOB 的面积为 3(O 为坐 标原点). (1)求实数 a,b,k 的值; (2)过抛物线上点 A 作直线 AC∥x 轴,交抛物线于另一点 C,求所有满足△EOC∽ △AOB 的点 E 的坐标. k (第 12 题) 上, x 4 所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为 y  . x 4 设点 B(t, ) , t  0 ,AB 所在直线的函数表达式为 y  mx  n ,则有 t 解: (1)因为点 A(1,4)在双曲线 y  4  m  n,  4  mt  n,  t 解得 m   4 4(t  1) ,n  . t t 于是,直线 AB 与 y 轴的交点坐标为  0,   4(t  1)   ,故 t  1 ( 4 t 1 ) SAOB   1  t   3 ,整理得 2t 2  3t  2  0 , 2 t 1 解得 t  2 ,或 t= (舍去) .所以点 B 的坐标为( 2 , 2 ) . 2 因为点 A,B 都在抛物线 y  ax  bx (a  0)上,所以 2 a  b  4, a  1, 解得  …………(10 分)  4 a  2 b   2 , b  3.   (2)如图,因为 AC∥x 轴,所以 C( 4 ,4) ,于是 CO =4 2 . 又 BO=2 2 ,所以 2 CO  2. BO 设抛物线 y  ax  bx (a  0) 与 x 轴负半轴相交于点 D, 则点 D 的坐标为( 3 ,0). 因为∠COD=∠BOD= 45  ,所以∠COB= 90  . (第 12 题) B ( 2 ,2)是 CO 的 (i)将△ BOA 绕点 O 顺时针旋转 90  ,得到△ BOA 1 .这时,点 1 ). 中点,点 A 1 的坐标为(4, 延长 OA1 到点 E1 ,使得 OE1 = 2OA1 ,这时点 E1 (8, 2 )是符合条件的点. 6

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