奥林204全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析

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全国奥林匹克数学大赛解析初中数学竞赛试题 04 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号 为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项 的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分) 1. 已 知 实 数 a  b , 且 满 足 (a  1) 2  3  3(a  1) , 3(b  1)  3  (b  1) 2 . 则 b b a 的值为( a a b ). (C )  2 (D)  13 (A)23 答:选(B) (B)  23 ∵ a、b 是关于 x 的方程 x  12  3( x  1)  3  0 的两个根,整理此方程,得 x2  5x  1  0 , ∵   25  4  0 , ∴ a  b  5 , ab  1 . 故 a、b 均为负数. 因此 b a b a a2  b2 b a  ab  ab   a b a b ab 2  a  b  2ab ab    23. ab 2. 若直角三角形的两条直角边长为 a 、 b ,斜边长为 c ,斜边上的高为 h ,则有 ( ). 1 1 1 (B)   a b h 1 1 1 (C) 2  2  2 a b h ab  h 2 (A) a 2  b 2  2h 2 (D) 答:选(C) ∵ ∴ a  h  0 ,b  h  0 , ab  h 2 , a 2  b 2  h 2  h 2  2h 2 ; 1 1 ch  ab ,即有 2 2 1 , h 因此,结论(A) 、 (D)显然不正确. 1 设斜边为 c,则有 a  b  c , (a  b)h  2 1 1   a b 因此,结论(B)也不正确. 1 1 1 1 1 a 2  b 2 h  ab 化简整理后,得 2  2  2 , 由 2 2 a b h 1

因此结论(C)是正确的. 3.一条抛物线 y  ax2  bx  c 的顶点为(4,  11 ) ,且与 x 轴的两个交点的横坐 标为一正一负,则 a、b、c 中为正数的( (A)只有 a 答:选(A) 由顶点为(4,  11 ) ,抛物线交 x 轴于两点,知 a>0. 设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,即为方程 ax2  bx  c  0 ). (D)只有 a 和 b (B)只有 b (C)只有 c 的两个根. c  0 ,所以 c  0 . a b  0 ,知 b<0. 根据对称轴 x=4,即有  2a 由题设 x1 x2  0 ,知 故知结论(A)是正确的. 4.如图所示,在△ABC 中,DE∥AB∥FG,且 FG 到 DE、 AB 的距离之比为 1:2. 若△ABC 的面积为 32, △CDE 的 面 积 为 ( (A)6 (C)10 答:选(B) 由 DE∥AB∥FG 知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以 2 , 则 △ CFG (B)8 (D)12 (第 4 题图) 的 面 积 S 等 于 ). CD  CA 又由题设知 FD 1  ,所以 FA 2 S CDE 2 1   , S CAB 32 4 FD 1  , AD 3 1 1 3 1 FD  AD   AC  AC , 3 3 4 4 故 FD  DC ,于是 S CDE  1  1     , S CFG  8 . S CFG  2  4 2 因此,结论(B)是正确的. 5.如果 x 和 y 是非零实数,使得 2

x  y  3 和 x y  x3  0 , 那么 x+y 等于( (A)3 答:选(D) 将 y  3  x 代入 x y  x 3  0 ,得 x 3  x 2  3 x  0 . (1)当 x>0 时, x 3  x 2  3x  0 ,方程 x 2  x  3  0 无实根; (2)当 x<0 时, x 3  x 2  3x  0 ,得方程 x 2  x  3  0 解得 x  1  13 1  13 ,正根舍去,从而 x  . 2 2 1  13 7  13 .  2 2 ). (B) 13 (C ) 1  13 2 (D) 4  13 于是 y  3  x  3  故 x  y  4  13 . 因此,结论(D)是在正确的. 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6 . 如图 所 示, 在 △ ABC 中 , AB=AC , AD=AE , BAD  60 ,则 EDC  (度). 答: 30 ° 解:设 CAD  2 ,由 AB=AC 知 1 B  (180   60  2 )  60   , 2 ADB  180   B  60  60   , 由 AD=AE 知, ADE  90   , 所以 EDC  180   ADE  ADB  30 . (第 6 题图) 7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口 kmn 数 m、n(单位:万人)以及两城市间的距离 d(单位:km)有 T  2 的关系 d (k 为常数) . 现测得 A、B、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且 已知 A、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t,那么 B、C 两个城市间每天的电 话通话次数为 t 答: 2 次(用 t 表示). 3

解:据题意,有 t  ∴k  32 t. 5 50  80 k, 160 2 因此,B、C 两个城市间每天的电话通 话次数为 TBC 80  100 32t 5 t k    . 2 5 64 2 320 (第 7 题图) 8 . 已 知 实 数 a 、 b 、 x 、 y 满 足 a  b  x  y  2 , ax  by  5 , 则 (a 2  b 2 ) xy  ab( x 2  y 2 )  答:  5 . 解:由 a  b  x  y  2 ,得 (a  b)(x  y)  ax  by  ay  bx  4 , ∵ ax  by  5 , ∴ ay  bx  1 . 因而, (a 2  b 2 ) xy  ab( x 2  y 2 )  (ay  bx)(ax  by)  5 . 9. 如图所示, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC (BC>AD), D  90 ,BC=CD=12, ABE  45 ,若 AE=10, 则 CE 的长为 答:4 或 6 . 解:延长 DA 至 M,使 BM⊥BE. 过 B 作 BG⊥AM, G 为垂足 . 易知四边形 BCDG 为正方形, 所以 BC=BG. 又 CBE  GBM , ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG. ∴ BM=BE, ABE  ABM  45 , ∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10. 设 CE=x,则 AG= 10  x ,AD= 12  (10  x)  2  x ,DE= 12  x . 在 Rt△ADE 中, AE 2  AD 2  DE 2 , ∴ 100  ( x  2) 2  (12  x) 2 , 即 x 2  10x  24  0 , 解之,得 x1  4 , x2  6 . (第 9 题图) 4

故 CE 的长为 4 或 6. 10.实数 x、y、z 满足 x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则 z 的最大值是 13 答: 3 解:∵ x  y  5  z , xy  3  z( x  y)  3  z(5  z)  z 2  5z  3 , ∴ x、y 是关于 t 的一元二次方程 . t 2  (5  z)t  z 2  5z  3  0 的两实根. ∵   (5  z) 2  4( z 2  5z  3)  0 ,即 3z 2  10z  13  0 , (3z  13)(z  1)  0 . 13 1 13 ,当 x  y  时, z  . 3 3 3 13 故 z 的最大值为 . 3 ∴ z 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课 时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的 兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x(分钟)变 化的函数图象如图所示(y 越大表示学生注意力越集中). 当 0  x  10 时,图象 是抛物线的一部分,当 10  x  20 和 20  x  40 时,图象是线段. (1)当 0  x  10 时,求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式; (2)一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听 这道题时,注意力的指标数都不低于 36. 解: (1)当 0  x  10 时,设抛物线的函数关 系式为 y  ax2  bx  c ,由于它的图象经过点 (0,20) , (5,39) , (10,48) ,所以 c  20,  25a  5b  c  39, 100a  10b  c  48.  1 24 解得, a   , b  , c  20 . 5 5 (第 11(A)题图) 所以 1 24 y   x2  x  20 , 0  x  10 . 5 5 5 …………………(5 分)

7 (2)当 20  x  40 时, y   x  76 . 5 1 24 x  20 , 所以,当 0  x  10 时,令 y=36,得 36   x 2  5 5 解得 x=4, x  20 (舍去) ; 7 当 20  x  40 时,令 y=36,得 36   x  76 ,解得 5 200 4 x  28 . …………………… (10 分) 7 7 4 4 因为 28  4  24  24 ,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标 7 7 数不低于 36 时, 讲授完这道竞赛题. 12.已知 a,b 是实数,关于 x,y 的方程组 …………………… (15 分)  y  x 3  ax2  bx,   y  ax  b 有整数解 ( x, y ) ,求 a,b 满足的关系式. 解:将 y  ax  b 代入 y  x 3  ax2  bx ,消去 a、b,得 y  x 3  xy , ……………………… (5 分) ( x  1) y  x 3 . 若 x+1=0,即 x  1 ,则上式左边为 0,右边为  1 不可能. 所以 x+1≠0,于是 y x3 1  x2  x 1 . x 1 x 1 因为 x、y 都是整数,所以 x  1  1 ,即 x  2 或 x  0,进而 y=8 或 y  0. 故  x  2  y  8 或 x  0  y  0 ……………………… (10 分)  x  2 当 时,代入 y  ax  b 得, 2a  b  8  0 ; y  8 x  0 当 时,代入 y  ax  b 得, b  0 . y  0 综上所述,a、b 满足关系式是 2a  b  8  0 ,或者 b  0 ,a 是任意实数. ………………………(15 分) 6

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