数学报207全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析

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全国奥林匹克数学大赛解析初中数学竞赛试题 07 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了 代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确 选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)   x  y  12, 1.方程组  的解的个数为(  x  y  6 ) . (D)4 (A)1 答: (A) . (B) 2(C) 3   x  y  12, 解:若 x ≥0,则  于是 y  y  6 ,显然不可能. x  y  6,   若 x  0 ,则   x  y  1 2 ,    x  y  6, 于是 y  y  18 ,解得 y  9 ,进而求得 x  3 .  x  3, 所以,原方程组的解为  只有 1 个解.  y  9, 故选(A) . 2.口袋中有 20 个球,其中白球 9 个,红球 5 个,黑球 6 个.现从中任取 10 个球,使得白球不少于 2 个但不多于 8 个,红球不少于 2 个,黑球不多于 3 个,那么上述取法的种数是( (A) 14 答: (B) . 解:用枚举法: 红球个数 白球个数 5 2,3,4,5 4 3,4,5,6 3 4,5,6,7 2 5,6,7,8 所以,共 16 种. 故选(B) . 黑球个数 3,2,1,0 3,2,1,0 3,2,1,0 3,2,1,0 4 种 数 4 4 4 (B) 16 ) . (C)18 (D)20 3.已知△ ABC 为锐角三角形,⊙ O 经过点 B,C,且与边 AB,AC 分别相 交于点 D,E. 若⊙ O 的半径与△ ADE 的外接圆的半径相等,则⊙ O 一定经过 △ ABC 的( ) . 1

(A)内心 答: (B) . (B)外心 (C)重心 (D)垂心 解: 如图,连接 BE,因为△ ABC 为锐角三角形,所以 BAC , ABE 均为锐角.又因为⊙ O 的半径与△ ADE 的外 接 圆 的 半 径 相 等 , 且 DE 为 两 圆 的 公 共 弦 , 所 以 BAC  ABE .于是, BEC  BAC  ABE  2BAC . 若△ ABC 的外心为 O1 , 则 B OC  B A C 1  2 一定过△ ABC 的外心. 故选(B) . 4.已知三个关于 x 的一元二次方程 , 所以, ⊙O (第 3 题答案图) ax2  bx  c  0 , bx2  cx  a  0 , cx 2  ax  b  0 恰有一个公共实数根,则 (A) 0 答: (D) . a 2 b2 c 2   的值为( bc ca ab ) . (D)3 (B)1 (C)2 解:设 x0 是它们的一个公共实数根,则 ax0  bx0  c  0 , bx0  cx0  a  0 , cx0  ax0  b  0 . 把上面三个式子相加,并整理得 2 (a  b  c)( x0  x0 1)  0 . 2 2 2 1 3 2  x0  1  ( x0  ) 2   0 ,所以 a  b  c  0 . 因为 x0 2 4 于是 a 2 b 2 c 2 a 3  b 3  c 3 a 3  b 3  ( a  b )3     bc ca ab abc abc  3ab(a  b)  3. abc 故选(D) . 5.方程 x3  6x2  5x  y3  y  2 的整数解(x,y)的个数是( ). (A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多 答: (A) . 解:原方程可化为 2

x( x  1)( x  2)  ( 3 x2  x)  y( y 1)( y  1)  2 , 因为三个连续整数的乘积是 3 的倍数,所以上式左边是 3 的倍数,而右边除以 3 余 2,这是不可能的.所以,原方程无整数解. 故选(A). 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.如图,在直角三角形 ABC 中, ACB  90 ,CA=4.点 P 是半圆弧 AC 的中点,连接 BP,线段 BP 把图形 APCB 分成两部分,则这两部分面积之差的 绝对值是 答:4. 解:如图,设 AC 与 BP 相交于点 D,点 D 关于圆心 O 的对称 点记为点 E,线段 BP 把图形 APCB 分成两部分,这两部分面积之 差的绝对值是△BEP 的面积,即△BOP 面积的两倍.而 1 1 SBPO  PO  CO   2  2  2 . 2 2 因此,这两部分面积之差的绝对值是 4. 7.如图, 点 A,C 都在函数 y  . (第 6 题答案图) 3 3 ( x  0) 的图象上,点 B,D 都在 x 轴上, x 且使得△OAB,△BCD 都是等边三角形,则点 D 的坐标 为 . 答: ( 2 6 ,0) . 解:如图,分别过点 A,C 作 x 轴的垂线,垂足分别 为 E,F.设 OE=a,BF=b, 则 AE= 3 a ,CF= 3 b , 所以,点 A,C 的坐标为 (第 7 题答案图) (a, 3a ) , (2 a +b, 3 b ) , 所以 解得  a  3 ,   b  6  3 ,  3 a2  3 3 ,     3 b (2a  b)  3 3 , 因此,点 D 的坐标为( 2 6 ,0) . 3

8. 已知点 A, B 的坐标分别为 (1, 0) , (2, 0) . 若二次函数 y  x2   a  3 x  3 的图象与线段 AB 恰有一个交点,则 a 的取值范围是 1 答: 1 ≤ a   ,或者 a  3  2 3 . 2 解:分两种情况: . (Ⅰ) 因为二次函数 y  x2   a  3 x  3 的图象与线段 AB 只有一个交点, 且 点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (2,0) ,所以 1 1 得 1  a   . 2 2  (a  3) 1  3  2 2  (a  3)  2  3  0 ,   由 12  (a  3) 1  3  0 ,得 a  1 ,此时 x1  1 , x2  3 ,符合题意; 3 1 由 22  (a  3)  2  3  0 ,得 a   ,此时 x1  2 , x 2  ,不符合题意. 2 2 (Ⅱ)令 x2   a  3 x  3  0 ,由判别式   0 ,得 a  3  2 3 . 当 a  3  2 3 时, x1  x2   3 ,不合题意;当 a  3  2 3 时, x1  x2  3 , 符合题意. 1 综上所述, a 的取值范围是 1 ≤ a   ,或者 a  3  2 3 . 2 9.如图, A  B  C  D  E  F  G  n  90 ,则 n= . 答:6. 解:如图,设 AF 与 BG 相交于点 Q,则 AQG A  D  G , 于是 A  B  C  D  E  F  G  B  C  E  F  AQG  B  C  E  F  BQF  540  6  90 . 所以,n=6. 10.已知对于任意正整数 n,都有 (第 9 题答案图) a1  a2   an  n3 , 则 1 1 1    a2  1 a3  1 a100  1 . 4

33 . 100 解:当 n ≥2 时,有 答: a1  a2    an1  an  n3 , a1  a2   an1  (n 1)3 , 两式相减,得 所以 2 , an  3 n  3 n 1 1 1 1 1 1   (  ), n  2,3,4, a n  1 3n(n  1) 3 n  1 n 1 1 1    a2  1 a3  1 a1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1  (1  )  (  )    (  ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33  (1  ) . 3 100 100 因此 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 11 (A) . 已知点 M, N 的坐标分别为 (0, 1) , (0, -1) , 点 P 是抛物线 y  上的一个动点. (1)判断以点 P 为圆心,PM 为半径的圆与直线 y  1 的位置关系; (2)设直线 PM 与抛物线 y  证: PNM  QNM . 解: (1)设点 P 的坐标为 ( x0 , 1 2 x0 ) ,则 4 1 2 x 的另一个交点为点 Q,连接 NP,NQ,求 4 1 2 x 4 1 2 1 2 1 2 2 PM= x0  ( x0  1)2  ( x0  1)2  x0 1 ; 4 4 4 1 2 1 2  (1)  x0 1, 又因为点 P 到直线 y  1 的距离为 x0 4 4 所以, 以点 P 为圆心,PM 为半径的圆与直线 y  1 相切. …………5 分 (2)如图,分别过点 P,Q 作直线 y  1 的垂线,垂 足分别为 H,R.由(1)知,PH=PM,同理可得,QM =QR. (第 11A 题答案图) 5

因为 PH,MN,QR 都垂直于直线 y  1 ,所以,PH∥MN∥QR,于是 QM  RN QR  RN MP , NH PH , HN 所以 因此,Rt△ PHN ∽Rt△ QRN . 于是 HNP  RNQ ,从而 PNM  QNM . …………15 分 1 12(A) .已知 a,b 都是正整数,试问关于 x 的方程 x 2  abx  (a  b)  0 是 2 否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明. 解:不妨设 a ≤b,且方程的两个整数根为 x1 , x2 ( x1 ≤ x2 ),则有  x1  x2  ab,   1 x1 x2  ( a  b ) ,  2  所以 1 1 x1 x2  x1  x2  a  b  ab , 2 2 4( x1  1)( x2  1)  (2a  1)(2b  1)  5 . …………5 分 因为 a ,b 都是正整数,所以 x1,x2 均是正整数,于是, x1  1 ≥0, x2 1 ≥0, 2a  1 ≥1, 2b  1 ≥1,所以 ( x1  1)( x2  1)  0,  (2a  1)(2b  1)  5, 或 (  x1  1)(x2  1)  1,  (2a  1)(2b  1)  1. (1)当  ( x1  1)( x2  1)  0, 时,由于 a,b 都是正整数,且 a ≤b,可得 (2a  1)(2b  1)  5 a=1,b=3, 此时,一元二次方程为 x 2  3x  2  0 ,它的两个根为 x1  1 , x2  2 . (2)当  ( x1  1)( x2  1)  1, 时,可得 (2a  1)(2b  1)  1 a=1,b=1, 此时,一元二次方程为 x2  x  1  0 ,它无整数解. 综上所述,当且仅当 a=1,b=3 时,题设方程有整数解,且它的两个整数 解为 x1  1 , x2  2 . 6 ……………15 分

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