《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

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习题一: 1.1 写出下列随机试验的样本空间: (1) 某篮球运动员投篮时, 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数; 解:连续 5 次都命中,至少要投 5 次以上,故 1  5,6,7,; (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解: 2  2,3,4,11,12 ; (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷,所以 3  0,1,2, (4) 从编号为 1,2,3,4,5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故: ;  4  i, j 1  i  j  5 ; (5) 检查两件产品是否合格; 解:用 0 表示合格, 1 表示不合格,则 5  0,0, 0,1, 1,0, 1,1; (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2); 解:用 x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: 6  x, y T 1 x  y  T2 ; (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解: 7  x 0  x  2; (8) 在长为 l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解: 8  x, y  x  0, y  0, x  y l; 1.2 (1) A 与 B 都发生, 但 C 不发生; ABC ; (2) A 发生, 且 B 与 C 至少有一个发生; A( B  C ) ; (3) A,B,C 中至少有一个发生; A  B  C ; -1-  

(4) A,B,C 中恰有一个发生; AB C  A BC  A B C ; (5) A,B,C 中至少有两个发生; AB  AC  BC ; (6) A,B,C 中至多有一个发生; A B  A C  B C ; (7) A;B;C 中至多有两个发生; ABC (8) A,B,C 中恰有两个发生. A BC  AB C  ABC ; 注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。

1.3 设样本空间   x 0  x  2, A = x 0.5  x  1, B  x 0.8  x 1.6 具体写出下列各: (1) AB ; (2) A B ; (3) A  B ; (4) A B (1) AB  x 0.8  x  1 ; (2) A B = x 0.5  x 0.8 ;      (3) A  B = x 0  x  0.5  0.8  x  2; (4) A B = x 0  x  0.5  1.6  x  2 1.6 按从小到大次序排列 P( A), P( A  B), P( AB), P( A)  P( B) , 并说明理由.  解:由于 AB  A, A  ( A  B), 故 P( AB)  P( A)  P( A  B) ,而由加法公式,有: P( A  B)  P( A)  P( B) 1.7 解:(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应概率为: P(W  E )  P(W )  P( E )  P(WE )  0.175 -2-

(2) 由于 W 可以分解为互斥 WE,WE ,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应 概率为: P(WE )  P(W )  P(WE )  0.1 (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为: P(W E )  1  P(W  E )  0.825 . 1.8 解:(1) 由于 AB  A, AB  B ,故 P( AB)  P( A), P( AB)  P( B), 显然当 A  B 时 P(AB) 取到最大值。

最大值是 0.6. (2) 由于 P( AB)  P( A)  P( B)  P( A  B) 。

显然当 P( A  B)  1 时 P(AB) 取到最小 值,最小值是 0.4. 1.9 解:因为 P(AB) = 0,故 P(ABC) = 0. A, B, C 至少有一个发生的概率为: P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( BC)  P( AC)  P( ABC)  0.7 1.10 解 (1)通过作图,可以知道, P( AB )  P( A  B)  P( B)  0.3 (2) P( AB)  1  P( AB)  1  ( P( A)  P( A  B))  0.6 (3) 由于P ( AB)  P ( A B )  1  P ( A  B )  1  ( P ( A)  P ( B )  P ( AB))  1  P( A)  P ( B )  P ( AB) P ( B )  1  P ( A)  0.7 1.11 解:用 Ai 表示“杯中球的最大个数为 i 个” i =1,2,3。

三只球放入四只杯中,放法有 4  4  4  64 种,每种放法等可能。

-3-

对 A1 :必须三球放入三杯中,每杯只放一球。

放法 4×3×2 种,故 P ( A1 )  3 8 (选排列:好比 3 个球在 4 个位置做排列)。

对 A3 :必须三球都放入一杯中。

放法有 4 种。

(只需从 4 个杯中选 1 个杯子,放入此 3 个球,选法有 4 种),故 P( A3 )  1 3 1 9 。

P( A2 )  1    16 8 16 16 1.12 解:此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本总数为 36。

.出现点数和为 “3”对应两个基本 (1,2) (2,1) , 。

故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为 1 。

18 同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4,5 的概率各是 (1) 1.13 1 1 , 。

12 9 解:从 10 个数中任取三个数,共有 C10  120 种取法,亦即基本总数为 120。

3 (1) 若要三个数中最小的一个是 5,先要保证取得 5,再从大于 5 的四个数里取两个,取法有 2  6 种,故所求概率为 1 。

20 1 。

12 (2) 若要三个数中最大的一个是 5,先要保证取得 5,再从小于 5 的五个数里取两个,取法 有 C5  10 种,故所求概率为 2 1.14 解:分别用 A1 , A2 , A3 表示: (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则 P( A1 )  C82 28 14 C2 6 1 16   , P( A2 )  4   , P( A3 )  1  P( A1 )  P( A2 )  。

2 2 C12 66 33 C12 66 11 33 1.15 -4-

解: P(( A  B ) B)  P(( A  B )  B) P(( AB)  ( B B))  P( B) P( B) P( AB) P( A)  P( AB )   0.5 P( B) P( B) 由于 P ( B B)  0 ,故 P(( A  B ) B)  1.16 (1) P( A  B); (2) P ( A  B ); 解:(1) P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)  1  P( B) P( A B)  1  0.4  0.5  0.8; (2) P( A  B)  P( A )  P( B)  P( A B)  1  P( B) P( A B)  1  0.4  0.5  0.6; 注意:因为 P( A B)  0.5 ,所以 P( A B)  1  P( A B)  0.5 。

1.17 解:用 Ai 表示“第 i 次取到的是正品”( i  1,2,3 ),则 Ai 表示“第 i 次取到的是 次品”( i  1,2,3 )。

P( A1 )  15 3 3 14 21  , P( A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 A1 )    20 4 4 19 38 (1) “在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为: P( A3 A1 A2 )  5。

18 (2) “第三次才取到次品”的概率为: P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )  (3)“第三次取到次品”的概率为: 15 14 5 35    20 19 18 228 1 4 此题要注意区分 (1) 、(2) 的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率。

再例如, 设有两个产品,一个为正品,一个为次品。

用 Ai 表示“第 i 次取到的是正品” ( i  1,2 ), -5-

则“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为: P( A2 A1 )  1 ;而 “第二次才取到次品”的概率为: P( A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 A1 )  1 。

区别是显然的。

2 1.18。

解:用 Ai (i  0,1,2) 表示“在第一箱中取出两件产品的次品数 i ”。

用 B 表示“从 第二箱中取到的是次品”。

则 P( A0 )  2 C12 66 C1  C1 24 C2 1  , P( A1 )  12 2 2  , P( A2 )  2  , 2 2 C14 91 C14 91 C14 91 P( B A0 )  1 2 3 , P( B A1 )  12 , P ( B A2 )  12 , 12 根据全概率公式,有: P( B)  P( A0 ) P( B A0 )  P( A1 ) P( B A1 )  P( A2 ) P( B A2 )  3 28 1.19 解:设 Ai (i  1,2,3) 表示“所用小麦种子为 i 等种子”, B 表示“种子所结的穗有 50 颗以上麦粒”。

则 P( A1 )  0.92, P( A2 )  0.05, P( A3 )  0.03, P ( B A1 )  0.5 , P( B A2 )  0.15 , P ( B A3 )  0.1,根据全概率公式,有: P( B)  P( A1 ) P( B A1 )  P( A2 ) P( B A2 )  P( A3 ) P( B A3 )  0.4705 1.20 解:用 B 表示色盲, A 表示男性,则 A 表示女性,由已知条件,显然有: P( A)  0.51, P( A )  0.49, P( B A)  0.05, P( B A )  0.025, 因此: -6-

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